로지스틱 성장 + 수확 — 파라미터에 따른 2차 곡선과 분기

3D 확장(접힘 곡면 · 쌍안정성) 보기 →

수확 방식

비례 수확 −hN 정량 수확 −H

수확 강도 h

개체군 파라미터

내재적 증가율 r

환경 수용력 K

초기 개체수 N₀

시간 범위 t

여러 초기값 궤적 함께 보기 성장 곡선·수확 곡선 분해해서 보기

평형점 N*

분기점

최대 지속 생산량

현재 지속 수확량

① 성장 속도 곡선 f(N) — 수확이 포물선을 어떻게 바꾸는가

f(N) = 성장 − 수확 순수 로지스틱 성장 rN(1−N/K) 수확 곡선 안정 평형 불안정 평형

② 시간에 따른 개체수 N(t)

N₀에서 출발한 궤적(RK4) 다른 초기값 불안정 평형 = 멸종 문턱(분리선)

③ 분기 다이어그램 — 수확 강도에 따른 평형점의 운명

안정 가지(실선) 불안정 가지(점선) 현재 설정

④ 1인당 성장률 (1/N)·dN/dt

비례 수확 (constant effort) — 초임계 분기 transcritical bifurcation

dN/dt = rN(1 − N/K) − hN 는 여전히 N에 대한 2차식이고, 정리하면 N·((r − h) − (r/K)N) 입니다. 근은 N = 0과 N = K(1 − h/r). 수확 강도 h를 올리면 두 번째 근이 왼쪽으로 밀려오다가 h = r에서 N=0과 충돌하고, 그 순간 두 평형점이 안정성을 맞바꿉니다. 이후에는 0이 유일한 안정 평형 — 멸종이 확정됩니다. 지속 수확량 Y(h) = h·K(1 − h/r)은 h = r/2에서 최대 rK/4(MSY)입니다.

정량 수확 (constant yield) — 안장-마디 분기 saddle-node bifurcation

dN/dt = rN(1 − N/K) − H 는 포물선 전체가 아래로 H만큼 평행이동한 모양입니다. 근은 N± = (K/2)(1 ± √(1 − 4H/rK)). H를 올리면 두 근이 서로 다가오다가 H* = rK/4(포물선 꼭짓점 높이 = MSY)에서 N = K/2에 겹쳐 사라집니다. 임계점을 조금만넘겨도 평형점이 통째로 없어져 어떤 초기값에서든 개체군이 붕괴합니다 — 경고 없이 무너지는 이 급변이 비례 수확과의 결정적 차이입니다. H < H*일 때 작은 근 N−는 불안정한 멸종 문턱이라, 그 아래에서 시작한 개체군은 수확을 견디지 못합니다.